Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия – 
Отношение площадей этих треугольников есть 
.
4. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и 
, то 
Площадь
или 
где 
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Смотрите также площадь трапеции.
Свойства трапеции
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое трапеция?
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
 | Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. |
Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.
Вот, смотри:
Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.
 | Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой. |
И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?
 | Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке и ) |
Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
 |  |
Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.
 | Опять и – параллельные, а диагональ – секущая. Поэтому . |
А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:
 | |
Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .
Средняя линия трапеции
Для начала – что же такое средняя линия трапеции?
 | Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции. |
Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:
 | , то есть |
| Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований |
А ещё:
| Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям |
Трапеция, вписанная в окружность.
Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:
 | Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая. |
Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!
Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.
Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!
ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Трапеция. Основные понятия и определения
| Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. |
Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
 | Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой. |
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.
Первое свойство трапеции
 | Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна . |
Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:
Второе свойство трапеции
| Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие) |
Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:
Третье свойство трапеции
Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:
 | Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. |
А теперь формула:
А вот и само третье свойство трапеции:
| Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. |
А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!
Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .
Поедем дальше.
 | Проведём — среднюю линию в . Знаем, что и |
Что же из всего этого следует?
 |
|
Вот и доказали!
Четвертое свойство трапеции
 | Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая. |
Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
(трапеция же!)
(вписанный четырехугольник)
. Ну, и так же .
Пятое свойство трапеции
 | В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1) – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2) и – середины оснований; 3) – точка пересечения диагоналей. |
Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.
Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:
| Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ. |
Шестое свойство трапеции
 | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. |
Седьмое свойство трапеции
Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.
 | В трапеции с перпендикулярными диагоналями |
Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!
Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.
Проведём и .
Обозначим ; .
Тогда:
- – прямоугольный
Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть .
Но ведь (так как — параллелограмм) .
ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
|
|
|
|
- Средняя линия параллельна основаниям: .
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
|
|
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: . - Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .
 |
|
Свойства равнобедренной трапеции:
- диагонали равны: ;
- углы при основании равны: ;
- сумма противолежащих углов равна : .
 |
|
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Конспект «Трапеция и её свойства»
«Трапеция и её свойства»
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).
Трaпеция встречается впервые у греческого математика Посидония (I в.). О том, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, было известно еще древним египтянам (не позже II в. до н.э.).
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».
Свойства и признаки трапеции
Свойства трапеции:
1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.
Признак трапеции:
Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.
Дополнительные свойства:
1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.
Это конспект по теме «Трапеция и её свойства». Выберите дальнейшие действия:
Трапеция
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
- Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной.
Основные свойства трапеции
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
\[ AB + CD = BC + AD \]
Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:
\[ AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD \]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]
Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:
\[ \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{OC}{AO} = \dfrac{OB}{DO} \]
Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
\[ d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2 \]
Формулы длин сторон трапеции
Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:
\[ a = 2m — b , b = 2m — a \]
Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
\[ a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a — h · (ctg \alpha + ctg \beta)\]
Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:
\[ a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a — c·cos \alpha — d·cos \beta \]
Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
\[ с = \dfrac{h}{sin \alpha } , d = \dfrac{h}{sin \beta } \]
Формулы длины средних линий трапеции
Формула определения длины средней линии через длины оснований:
\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]
Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
\[ m = \dfrac{S}{h} \]
Формулы длины высоты трапеции
Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:
\[ h = c·sin α = d·sin β \]
Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:
\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} = sin δ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} \]
Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2m 2m} = sin δ · \dfrac{d_1}{d_2} \]
Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
\[ h = \dfrac{2S}{a + b} \]
Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
\[ h = \dfrac{2S}{m} \]
Формулы длин диагоналей трапеции
Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:
\[ d_1 = \sqrt{a^2 + d^2 — 2ad·cos β} \]
\[ d_2 = \sqrt{a^2 + c^2 — 2ac·cos β} \]
Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:
\[ d_1 = \sqrt{d^2 + ab — \dfrac{a(d^2 — c^2)}{a — b} } \]
\[ d_2 = \sqrt{c^2 + ab — \dfrac{ a(c^2 — d^2) }{a — b} } \]
Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:
\[ d_1 = \sqrt{h^2 + (a — h · ctg β)^2} = \sqrt { h^2 + (b + h · ctg α)^2} \]
\[ d_2 = \sqrt{h^2 + (a — h · ctg α)^2} = \sqrt{h^2 + (b + h · ctg β)^2} \]
Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:
\[ d_1 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab — d_2^2} \]
\[ d_2 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab — d_1^2} \]
Формулы площади трапеции
Формула площади трапеции через основания и высоту:
\[ S = \dfrac{ (a + b) · h }{2} \]
Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:
\[ S = m · h \]
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:
\[ S = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin γ = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin δ \]
Формула площади трапеции через четыре стороны:
\[ S = \dfrac{a + b}{2}\sqrt{c^2 — \left\lgroup\dfrac{(a — b)^2 + c^2 — d^2)}{2\cdot (a — b)} \right\rgroup ^2 } \]
Формула Герона для площади трапеции
\[ S = \frac{a + b}{\left|a-b\right| } \sqrt{(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)} \]
где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) — полупериметр трапеции.
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Источник
Трапеция — что это такое, свойства и виды трапеций (равнобедренная, прямоугольная)
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы решили подробно рассказать о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕЦИЯ.
Ее подробно изучают на уроках геометрии в 8-м классе. И эти уроки являются частью общего знакомства школьников с различными четырехугольниками.
Определение трапеции
Трапеция – геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого две противоположные стороны располагаются на параллельных прямых. А две другие стороны должны, наоборот, быть не параллельными.
Вот так выглядит классическая трапеция:
У этой фигуры стороны АВ и CD являются параллельными. А вот AD и CB – нет.
Происхождения слова
Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.
В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.
Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:
Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.
И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.
Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает «обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.
Стороны трапеции
Парные стороны трапеций имеют свои названия:
- Основания трапеции – стороны, которые располагаются на параллельных прямых.
- Боковые – стороны, которые не находятся на параллельных прямых.
Закрепим это с помощью рисунка:
В данном случае стороны АВ и CD параллельны друг другу. А значит, именно они являются основаниями. А вот АС и BD – наоборот, явно не параллельны. И соответственно, это боковые стороны.
Кстати, расположение сторон не зависит от расположения самой фигуры. Даже вот в таких положениях
все равно параллельные стороны будут считаться основаниями, а непараллельные – боковыми.
Равнобедренная и прямоугольная трапеции
Вариант трапеции, который мы рассмотрели – это самые распространенные виды геометрической фигуры. Но есть и частные случаи:
Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые (не параллельные) стороны равны. Ее еще называют равнобокой или равнобочной.
Выглядит она вот так:
В данном примере графически показано, что стороны AD и ВС равны между собой. Об этом свидетельствуют небольшие черточки.
Прямоугольная трапеция – та, у которой одна из боковых сторон и основания образовывают прямой угол.
Выглядит она вот так:
В данном примере, углы DAB и ADC являются прямыми, то есть равны 90 градусам. А соответственно, трапеция называется прямоугольной.
Тут важно заметить, что под прямым углом к основанию должна идти только одна боковая сторона. Если будут обе, то трапеция автоматически превратится в квадрат.
Свойства трапеций
С трапециями связаны несколько понятий в геометрии, которые активно используются для решения различных теорем.
Средняя линия
Средняя линия трапеции – это отрезок, который идет параллельно основаниям и соединяет середины:
Со средней линией связана одна интересная теорема. Очень часто на уроках геометрии школьников просят определить ее длину. И сделать это весьма просто.
Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований.
Звучит может и несколько тяжеловато. Но на деле – это весьма просто. Так, чтобы посчитать в нашем примере длину отрезка MN, который является средней линией, надо применить формулу:
MN = (AD + ВС) / 2
И это правило распространяется на все виды трапеций.
Биссектриса углов трапеции
Биссектриса – это линия (луч), которая делит угол пополам. Так вот
Любая биссектриса, выведенная из угла трапеции, отсекает на основании отрезок, равный по длине боковой стороне.
На данном рисунке отрезок АЕ является биссектрисой угла ABD. И исходя из этого, отрезки АВ и ВЕ равны между собой, о чем свидетельствуют небольшие черточки на них.
В то же время у биссектрис в трапеции есть еще одно свойство.
Две биссектрисы, выведенные из углов одной боковой стороны, пересекаются под прямым углом.
Все эти теоремы в процессе школьного обучения, ученикам еще необходимо доказывать. Ну а мы решили не приводить долгие математические и геометрические выкладки. Просто примите как данность!
Вот и все, что мы хотели рассказать вам о трапеции.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Использую для заработка
Рубрика: ЧАстые ВОпросы
Трапеция — Формулы | Свойства
Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC \over 2}
$$ - Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD - Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
- Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
- Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB \over 2}
$$ - Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
$$
S = {AB + DC \over 2} * AG
$$
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
$$
S = FE * AG
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC * BD \over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD \over 2} * sin(∠AOB)
$$
Площадь трапеции через четыре стороны
$$
S = {DC + AB \over 2} * \sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 \over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
$$
S = {DC + AB \over 2} * \sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 \over 4}}
$$
Площадь трапеции через стороны и угол
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC^2 \over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 \over 2} * sin(∠BOC)
$$
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
$$
S = {4 * R_В^2 \over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 \over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC \over sin(∠ADC)} = {AB * DC \over sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD \over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD \over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длины сторон
$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG \over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG \over sin(∠BCD)}
$$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длины сторон
$$
AD = {AG \over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB \over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
$$
DC = {AC^2 — DA^2 \over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 \over DC}
$$
Длина боковой стороны через диагональ и основания
$$
AD = \sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC^2 \over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 \over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
$$
DC = {2 * S \over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S \over AG} — DC
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
$$
AD = {S \over FE * sin(∠ADC)} = {S \over FE * sin(∠DAB)}
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
$$
AD = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон прямоугольной трапеции
Длины оснований
$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + \sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — \sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD \over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD \over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S \over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S \over AD} — DC
$$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
$$
BD = \sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) \over DC — AB}}
$$
$$
AC = \sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) \over DC — AB}}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
BD = \sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей через высоту
$$
BD = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = \sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * \sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * \sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
$$
BD = \sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = \sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {AG * (DC + AB) \over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) \over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * S \over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S \over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * FE * AG \over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG \over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
$$
AC = \sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей
$$
AC = \sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = \sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 \over 4 }}
$$
$$
AC = \sqrt{{AG * (AB + DC) \over sin(∠AOD)}} = \sqrt{{2 * S \over sin(∠AOD)}} = \sqrt{{2 * FE * AG \over sin(∠AOD)}}
$$
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
$$
AC = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
Длина диагоналей через сторону и высоту
$$
AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * \sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
$$
BD = \sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = \sqrt{AC^2 + DC^2}
$$
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB \over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) \over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) \over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и высоту
$$
FE = {S \over AG}
$$
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB \over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
$$
FE = DC — \sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + \sqrt{AD^2 — AG^2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC^2 \over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 \over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
$$
FE = {S \over AD * sin(∠ADC)}
$$
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) \over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) \over 2}
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) \over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) \over 2}
$$
Длина средней линии через основания и боковые стороны
$$
FE = DC — {\sqrt{BC^2 — AD^2} \over 2}
$$
$$
FE = AB + {\sqrt{BC^2 — AD^2} \over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
$$
AG = \sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 \over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD \over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD \over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD \over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD \over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S \over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S \over FE}
$$
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
$$
AG = \sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 \over 4}}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
$$
AG = {DC — AB \over 2} * tg(∠ADC)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC^2 \over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 \over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S \over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S \over FE}
$$
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
$$
BC = \sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
$$
BC = {DC — AB \over cos(∠BCD)}
$$
Сторона BC через Сторону AD
$$
BC = {AD \over sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
$$
BC = {S \over FE * sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
$$
BC = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$
Трапеция. Свойства и элементы трапеции
Виды трапеций
Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.
Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.
Элементы трапеции
a, b — основания трапеции (a параллельно b),
m, n — боковые стороны трапеции,
d1, d2 — диагонали трапеции,
h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),
MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
Площадь трапеции
- Через полусумму оснований a, b и высоту h: S = \frac{a + b}{2}\cdot h
- Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
- Через диагонали d1, d2 и угол (\sin \varphi) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}
Свойства трапеции
Средняя линия трапеции
Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:
MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}
Сумма углов трапеции
Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ}:
\alpha + \beta = 180^{\circ}
\gamma + \delta =180^{\circ}
Равновеликие треугольники трапеции
Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.
Подобие образованных треугольников трапеции
Подобными треугольниками являются AOD и COB, которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.
\triangle AOD \sim \triangle COB
Коэффициент подобия k находится по формуле:
k = \frac{AD}{BC}
Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2}.
Отношение длин отрезков и оснований
Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:
\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}
Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.
Описанная около трапеции окружность
Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.
Вписанная в трапецию окружность
Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O.
Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.
Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны
Чтобы доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают, рассмотрим равнобедренную трапецию, показанную ниже. В этом уроке мы покажем вам два разных способа сделать одно и то же доказательство, используя одну и ту же трапецию.
Первый способ — показать, что треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DCB
.
Дано : Равнобедренная трапеция ABCD с отрезком AB ≅
сегмент DC
Prove : сегмент AC ≅ сегмент BD
Поскольку трапеция равнобедренная, углы основания совпадают.
Следовательно, ∠CBA ≅ ∠BCD
Кроме того, отрезок BC к отрезку BC по рефлексивному свойству конгруэнтности.
Согласно постулату SAS, треугольник ABC ≅ треугольник DCB.
Следовательно, сегмент AC ≅ сегмент BD
О чем нужно помнить, когда вы доказываете, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают.
Вот некоторые вещи, которые вы должны знать о приведенном выше доказательстве.
- Утверждение , если трапеция равнобедренная, то базовые углы совпадают. также требует доказательства.Однако мы не будем здесь доказывать.
- У равнобедренной трапеции равные стороны всегда не параллельны. На трапеции выше мы показываем эти стороны красными отметками.
- Рефлексивное свойство относится к числу, которое всегда равно самому себе. Например, 9 = 9 или y = y являются примерами рефлексивного свойства.
- SAS означает «сторона, угол, сторона». Возможно, вам стоит повторить урок о конгруэнтных треугольниках.
- Чтобы доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают, вы также могли бы использовать треугольник ABD и треугольник DCA.
Другой способ доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают. На этот раз мы покажем, что треугольник BAD конгруэнтен треугольнику CDA
.
Дано : Равнобедренная трапеция ABCD с отрезком AB ≅
сегмент DC
Prove : сегмент AC ≅ сегмент BD
Поскольку трапеция равнобедренная, базовые углы совпадают
Следовательно, ∠BAD ≅ CDA
Обратите внимание, что на этот раз мы не используем те же базовые углы, что и перед.Базовые углы, которые мы сейчас используем, связаны с основанием на вершине или сегментом AD.
Кроме того, отрезок AD ≅ должен отрезать AD по рефлексивному свойству конгруэнтности.
Согласно постулату SAS, треугольник BAD ≅ треугольник CDA
Следовательно, сегмент AC ≅ сегмент BD
Новые уроки математики
Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.
.
Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника
Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапецией) .
Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются ножками (AD и BC).
Если ноги равны по длине, трапеция называется равнобедренная .
DE и CF — , высота .
Средняя линия трапеции
Линия, соединяющая средние точки сторон, которые не параллельны, называется средней линией (или средним сегментом) трапеции.
Линия MN — это средняя линия ABCD. А сегмент MN — это средний сегмент ABCD.
AM = MD
BN = NC
Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае — MN || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.
Теорема 1:
Если линия, проходящая через середину отрезка трапеции, параллельна ее основаниям,
затем линия проходит через середину другой ноги.
Теорема 2:
Средний отрезок трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.
Другими словами:
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB} + \ overline {DC}} {2} $
Середина треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средним сегментом треугольника.
Он параллелен третьей стороне, а его длина вдвое меньше длины третьей стороны.
Теорема : Если отрезок пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.
$ \ overline {AM} = \ overline {MC} $ и $ \ overline {BN} = \ overline {NC} $ =>
$ MN || AB $
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB}} {2} $
Применение свойств средних сегментов
Разделите отрезок на равные отрезки без измерения.
Задание: Разделите данный сегмент $ \ overline {AB} $ на 5 равных сегментов без измерения.
Решение:
Пусть p — произвольный луч с началом A, не лежащий на AB.На п. Рисуем последовательно пять равных отрезков.
$ \ overline {AA_1} = \ overline {A_1A_2} = \ overline {A_2A_3} = \ overline {A_3A_4} = \ overline {A_4A_5} $
Мы соединяем A 5 с B и проводим линии через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B.
Они пересекают AB в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 соответственно.
Эти точки делят отрезок $ \ overline {AB} $ на пять равных отрезков.
Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что $ \ overline {BB_4} = \ overline {B_4B_3} $.
Таким же образом из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 ,
получаем $ \ overline {B_4B_3} = \ overline {B_3B_2} $
При этом от трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 ,
$ \ overline {B_3B_2} = \ overline {B_2B_1} $.
Тогда из B 2 AA 2 следует, что $ \ overline {B_2B_1} = \ overline {B_1A} $.В итоге получаем:
$ \ overline {AB_1} = \ overline {B_1B_2} = \ overline {B_2B_3} = \ overline {B_3B_4} = \ overline {B_4B} $
Понятно, что если AB нужно разделить на другое количество равных отрезков,
мы должны спроецировать такое же количество равных отрезков на p.
Далее поступаем так же.
.
Как найти площадь трапеции (формула и видео) // Tutors.com
Содержание
- Что такое трапеция?
- Как найти площадь трапеции
- Площадь трапеции, формула
Трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара параллельных сторон . Итак, этот четырехсторонний многоугольник представляет собой плоскую фигуру и замкнутую фигуру. Он состоит из четырех отрезков и четырех внутренних углов.Параллельные стороны — это две базы трапеции ; две другие стороны — его ноги.
Обычно у трапеции более длинная параллельная сторона — основание , — горизонтально. Перпендикулярная линия от основания к другой параллельной стороне даст вам высоту трапеции или высоту .
Что такое средний по математике?
В математике среднее значение представляет собой сумму группы чисел, деленную на количество элементов в группе.
Итак, если у вас есть три человека, которые держат книги, вы можете найти среднее количество книг, которые они держат, вот так: Мартин держит 5 книг, Мак держит 3 книги, а Мария держит 4 книги. Вместе 12 книг держат 3 человека. Итак, 12 книг ÷ 3 человека = в среднем по 4 книги каждая.
Чтобы найти площадь трапеции, вы найдете среднюю длину двух оснований.
Как найти площадь трапеции
Чтобы найти площадь любой трапеции, начните с обозначения ее основания и высоты.На нашей трапеции обозначьте более длинное основание a и более короткое основание b. Обозначьте линию, перпендикулярную двум основаниям, h для высоты или высоты трапеции.
Обратите внимание, что мы не пометили ноги. Нам не нужно ничего знать о длине ног или углах вершин, чтобы найти площадь.
Площадь трапеции, формула
Формула площади трапеции — это среднее значение оснований, умноженное на высоту. В формуле длинное и короткое основание — это a и b, а высота — h:
Умножение на 12 аналогично делению на 2.Мы берем половину суммы длины двух оснований (их среднее значение), а затем умножаем это на высоту или высоту, чтобы найти площадь в квадратных единицах.
Уравнение площади трапеции
Трапеция LMNO имеет параллельные основания LM и NO. Линейный сегмент LM имеет длину 7 см, а линейный сегмент NO — 13 см. Мы обозначим более длинную сторону NO как a, а короткую сторону LM как b. Высота h 5 см.
Сначала давайте подставим эти числа в o
.