Трапеция

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен. 

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. 

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна. 

Примечание.  В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.  

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

— разносторонние ;

— равнобокие;

— прямоугольные

.

Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция

B — прямоугольная трапеция

C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а основания параллельны.

У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина 
• Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
• Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые.

Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника. 
Важно. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции

b — большее из оснований трапеции

c,d — боковые стороны

h₁h₂ — диагонали 

Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

Площадь трапеции

где

a и b — параллельные основания трапеции

c и d — боковые стороны трапеции

m — средняя линия трапеции

r — радиус вписанной в трапецию окружности

S — площадь трапеции
Содержание главы:

 Ромб |

Описание курса

| Площадь трапеции 

Трапеция, виды, элементы, свойства

Трапеция, виды, элементы, свойства.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция (понятие, определение)

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция 

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2 

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. 

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2 

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  180° . 

Рис. 9. Трапеция 

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

 Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2 

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC 

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция 

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции.  k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c ² + d ²     ,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

Квадрат

Овал

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

карта сайта

Коэффициент востребованности
200

Трапеция в натальной карте.

Причудливые фигуры, очерченные аспектами в натальной карте, требуют особого анализа. Тут понадобится задействовать возможности планет, домов и связей между ними, но также необходимо знать общее влияние конфигурации на судьбу. Некоторые из них облегчают жизнь и преподносят блага Вселенной на серебряном блюде, но многие разрушают безоблачное существование, стоит только расслабиться.

Трапеция считается условно положительным фактором, поскольку вознаграждение идет только после борьбы с внешними обстоятельствами и мучительными сомнениями. Это проигрывается через оппозицию в основании. Из крайних точек идут пересекающиеся тригоны, по бокам секстили, помогающие понять сферы успешного применения талантов после преодоления преград.

Влияние Трапеции на судьбу

Если Трапеция опирается на Лунные узлы, то человек вовлекается в борьбу с внешним миром помимо своей воли. Более того, даже если в составе фигуры, особенно в оппозиции, присутствуют планеты, имеющие связи с узлами, расплата по карме идет мгновенно, если желанное приобретение получено просто так, без усилий и упорной работы.

Например, в случае Венеры, прежде чем купить красивую роскошную вещь, от украшений до мебели, нужно честно отработать долгий период беготни по магазинам, анализа цен или же взять духовную аскезу, а творческому успеху предшествует трудоемкая работа над собой и совершенствование талантов. Астрологи часто рекомендуют намеренное создание и преодоление трудностей по линии планет, затронутых Трапецией. Особенности ее воздействия на человека:

• расположение в определенной части гороскопа усугубляет проблемы, затронутые домами и знаками, побуждая действовать долго в одном направлении, чтобы их победить;
• в результате работы над внутренними страхами на событийном плане появляется защита;
• несмотря на протекцию Высших сил стабильность натива всегда под вопросом;
• если большинство планет с женской энергией, то бури проходят мимо, а человек наблюдает за процессом со стороны, зато мужские планеты провоцируют его активно вмешаться в происходящее;
• индивидуальную защиту обладатель Трапеции получает, сделав правильный выбор по секстилям: профессия, манера поведения и самовыражения, развитие творческих талантов.

Самое страшное для человека с такой конфигурацией – лень и уныние. Они включают разрушительный эффект домино. Активные действия – гарантия того, что бури пронесутся над головой, не затронув натива. В трудных ситуациях человек оказывается в нужном месте в самое подходящее время.

Примеры Трапеции из реальной жизни

Обладатели фигуры часто делают удачную карьеру в противостоянии внешним врагам. Пример тому М.Ю. Лермонтов. На секстили его Трапеции (Селена в Скорпионе, соединенная с Ураном в Стрельце, плюс Плутон с Хироном в Рыбах) оказал сильное воздействие Сатурн в Козероге.

С одной стороны, блестящие предложения по профессии от Селены и ангельское вдохновение, но влияние эксцентричного Урана, провоцирующего на шокирующее поведение и насмешки над обществом, разрушительны без проработки Сатурна: уважение к основам социума и добропорядочности. Развиваясь по Селене (духовность и творчество), поэт был бы в безопасности, но неправильный выбор по Плутону (нежелание трансформировать эгоистичные желания в служение коллективным сообществам) приводит к очистительной жертве.

В гороскопе известной целительницы Джуны Давиташвили тоже была Трапеция, где большинство планет женские. Опасности и правда обходили ее стороной, однако в бурные события она вовлекалась помимо своей воли из-за Лилит. Проработать аспект можно было через примирение оппозиции Сатурна и Нептуна в соединении с Венерой: официально подтвержденной целительской деятельности с публичным творческим самовыражением. Трин между Сатурном и Меркурием защищал ее от репрессий властей, а второй, Нептун-Уран, на тонком плане давал охрану Высших сил.

Проработка Трапеции на практике

Прежде всего, нужно тщательно изучить профессиональные сферы деятельности по секстилям, проанализировав сферы влияния составляющих их планет и направленность аспектов в домах гороскопа.

Работая в этих областях, либо занимаясь соответствующими хобби для души, натив гармонизирует перекос энергий, снимая напряжение и меньше концентрируясь на проблемах оппозиции.

Планеты на краях дают понимание, чему сопротивляться, чтобы получить желаемое, поскольку успех приходит к владельцу гороскопа только через противостояние влиятельному врагу. Это может быть как конкретный человек, так и государство в целом, либо искушения по нижнему этажу участников аспекта.

Например, если это оппозиция Сатурн-Нептун, то чиновники во властных структурах или отсутствие личной дисциплины не дают реализовать талант, и есть выбор: спиться от отчаяния, либо принять развитие по секстилю Луна-Меркурий: мудрость, гибкость мышления и хитроумие, умение ладить с людьми.

Поскольку основанием Трапеции является оппозиция, то не расчистив внутренние и внешние проблемы по ее направлению, натив не сможет получить процветание по секстилям и защиту по тринам.

Автор:

Василиса Вишнева

Поделись с друзьями. +5 к КАРМЕ.

Cтатьи из рубрики:

Популярные статьи:

ТРАПЕЦИЯ — это… Что такое ТРАПЕЦИЯ?

Калькулятор объема трапециевидной призмы

Объем трапециевидной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту. Используйте этот объем калькулятора трапециевидной призмы, чтобы найти объем, указав площадь призмы, длину вершины, высоту призмы и форму трапеции.

Объем трапециевидной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту. Используйте этот объем калькулятора трапециевидной призмы, чтобы найти объем, указав площадь призмы, длину вершины, высоту призмы и форму трапеции.

Код для добавления этой кальки на ваш сайт

Формула:

v = A × l
А = 1/2 × h × (а + b)

Где,
v = Объем трапециевидной призмы
A = Площадь трапециевидной призмы
h = высота трапецеидального
l = высота призмы
a = длина верха
b = длина дна

Призмы часто отличаются формой их базового многоугольника. Трапецеидальная призма — это сплошная призма, которая имеет трапециевидные поперечные сечения в одном направлении и прямоугольные поперечные сечения в других направлениях.Объем вычислителя трапециевидной призмы может определить объем и площадь трапециевидной призмы одновременно. Помимо расчета объема трапецеидальной призмы, на этой странице представлены отдельные формулы для расчета площади трапециевидной призмы и объема трапециевидной призмы.

Пример

Трапециевидная призма имеет высоту 6 см, высоту трапециевидной 9 см с длиной нижней и верхней части 8 и 5 см. Каков его объем.

v = a * l
a = 1/2 * h * (t + b)
a = 1/2 * 9 * (8 + 5)
a = 58,5

V = 58,5 * 6
V = 351 см куб
Следовательно, площадь 58,5 см ² и объем 351 см ³

.

Доказательство площади трапеции

Первый хороший способ начать с доказательства площади трапеции — это нарисовать трапецию и превратить трапецию в прямоугольник.

Посмотрите на трапецию ABCD выше. Как бы вы превратили это в прямоугольник?

Нарисуйте среднее основание (показано красным), которое соединяет середину двух непараллельных сторон.

Затем нарисуйте 4 треугольника, как показано ниже:

Назовем две параллельные стороны синим цветом (основания) b ₁ и b ₂

Треугольники EDI и CFI равны или равны, а треугольники KAJ и RBJ равны или равны.Следовательно, вы можете создать прямоугольник, вращая треугольники EDI вокруг точки I на 180 градусов против часовой стрелки и вращая треугольник KAJ по часовой стрелке, но все еще на 180 градусов вокруг точки J.

Поскольку вы можете создать прямоугольник с трапецией, обе фигуры имеют одинаковые площадь.

Причина, по которой EDI треугольника совпадает с треугольником IFC, связана с ASA. Мы можем найти два угла внутри треугольников, которые одинаковы, и сторона между углами одинакова для обоих треугольников.

Те же углы показаны ниже.Они красного и зеленого цвета. Углы, отмеченные зеленым цветом, — прямые. Красные углы — это вертикальные углы.

Это важно, потому что, если эти два треугольника не совпадают или не совпадают, мы не сможем создать прямоугольник с трапецией, вращая треугольник EDI. Он не поместится должным образом.

Опять же, тот же аргумент применим к двум треугольникам слева.

Следовательно, если мы сможем найти площадь прямоугольника, трапеция будет иметь такую ​​же площадь.

Найдем площадь прямоугольника. Нам снова понадобится следующая цифра:

Сначала сделайте следующие важные наблюдения:

b ₁ = RC

BF = BR + b ₁ + CF

b ₂ = AD

KE = AD — AK — ED, поэтому KE = b ₂ — AK — ED

AK = BR и ED = CF

Обратите внимание, что вы можете найти длину линии, выделенную красным (среднее основание), взяв среднее значение длины BF и длины KE

.

Площадь трапеции

Этот урок покажет вам, как найти площадь трапеции двумя разными способами.

1. Разрезание трапеции и перестановка частей так, чтобы получились прямоугольник и треугольник.
2. Использование формулы для определения площади трапеций.

Первый метод поможет вам понять, почему работает формула для определения площади трапеций. Приступим! Разрежьте трапецию на три части и
сделайте из частей прямоугольник и треугольник.

Затем нам нужно сделать следующие четыре важных наблюдения.

1.

Прямоугольник

Основание = 4
Высота = 8

2.

Трапеция

Длина нижнего основания = 13
Длина верхнего основания = 4
Высота = 8

3.

Новый треугольник (с синими и оранжевыми линиями)

Длина основания = 9 = 13 — 4 = длина нижнего основания трапеции — 4
Высота = 8

4.

Площадь трапеции = площадь прямоугольника + площадь вновь образованного треугольника.

Теперь наша стратегия будет заключаться в том, чтобы вычислить площадь прямоугольника и площадь вновь образованного треугольника и посмотреть, сможем ли мы сделать формулу для нахождения площади трапеции волшебным образом.

Площадь прямоугольника = основание × высота = 4 × 8

Площадь треугольника = (основание × высота) / 2

Площадь треугольника = [(13 — 4) × 8] / 2 = [13 × 8 + — 4 × 8] / 2

Площадь треугольника = (13 × 8) / 2 + (- 4 × 8) / 2

Площадь трапеции = 4 × 8 + (13 × 8) / 2 + (- 4 × 8) ) / 2

Площадь трапеции = 8 × (4 + 13/2 + — 4/2)

Площадь трапеции = 8 × (4 — 4/2 + 13/2)

Площадь трапеции = 8 × (8/2 — 4/2 + 13/2)

Площадь трапеции = 8 × (4/2 + 13/2)

Площадь трапеции = (4/2 + 13/2) × 8

Площадь трапеции = 1/2 × (4 + 13) × 8

Пусть b ₁ = 4, пусть b ₂ = 13, и пусть h = 8

Тогда формула для получения площади трапеции равна до 1/2 × (b ₁ + b ₂ ) × h

Формула для определения площади трапеции

В общем, если b ₁ и b ₂ являются основаниями трапеции, а h — высотой трапеции, то мы можем использовать формулу ниже.

Примеры, показывающие, как найти площадь трапеции по формуле

Пример # 1:

Если b ₁ = 7 см, b ₂ = 21 см и h = 2 см, найдите A

Площадь = 1/2 × (b ₁ + b ₂ ) × h = 1/2 × (7 + 21) × 2 = 1/2 × (28) × 2

Площадь = 1/2 × 56 = 28 см ²

Пример № 2:

Если b ₁ = 15 см, b ₂ = 25 см и h = 10 см, найдите A

Площадь = 1/2 × (b ₁ + b ₂ ) × h = 1/2 × (15 + 25) × 10 = 1/2 × (40) × 10

Площадь = 1/2 × 400 = 200 см ²

Пример № 3:

Если b ₁ = 9 см, b ₂ = 15 см и h = 2 см, найдите A

Площадь = 1/2 × (b ₁ + b ₂ ) × h = 1/2 × (9 + 15) × 2 = 1/2 × (24) × 2

Площадь = 1/2 × 48 = 24 см ²

Область викторины с трапециями, чтобы узнать, действительно ли вы понимаете этот урок.

.